De même, toute surjection entre deux ensembles finis de la même cardinalité est aussi une injection. Les mathématiciens choisissent plus typiquement de mettre au sol des notions de nombre dans la théorie de l`ensemble, par exemple ils pourraient modéliser des nombres naturels par les types d`ordre des ensembles finis bien ordonnés. Le nombre d`éléments d`un jeu fini est un nombre naturel (un entier non négatif) et est appelé la cardinalité de l`ensemble. En combinatoire, un ensemble fini avec n éléments est parfois appelé un n-Set et un sous-ensemble avec des éléments k est appelé un sous-ensemble k. Kuratowski est la définition utilisée ci-dessus. En mathématiques, un ensemble fini est un ensemble qui a un nombre fini d`éléments. Même pour les mathématiciens qui embrassent des ensembles infinis, dans certains contextes importants, la distinction formelle entre le fini et l`infini peut rester une matière délicate. Les mathématiciens dominants considèrent le finitisme strict trop confinant, mais reconnaissent sa cohérence relative: l`univers des ensembles finis hereditairement constitue un modèle de Zermelo – Fraenkel théorie de l`ensemble avec l`axiome de l`infini remplacé par sa négation. Ainsi, la distinction entre le fini et l`infini réside au cœur de la théorie des set. Dans la théorie de l`ensemble ZF sans l`axiome de choix, les notions suivantes de finitude pour un ensemble S sont distinctes. Certains fondateurs, les finitistes stricts, rejettent l`existence d`ensembles infinis et recommandent donc des mathématiques basées uniquement sur des ensembles finis. En l`absence de l`axiome de choix, les implications inverses sont toutes inprouvables.
Les ensembles finis sont particulièrement importants dans combinatorics, l`étude mathématique du comptage. Ceux qui connaissent la définition des nombres naturels eux-mêmes comme conventionnel dans la théorie de l`ensemble, la construction dite de von Neumann, peuvent préférer utiliser l`existence de la bijection f: S → n {displaystyle fcolon Srightarrow n}, ce qui est équivalent. En d`autres termes, si un ensemble S remplit l`un des critères de cette liste, il répond à tous les critères qui suivent celui-ci. Tout sous-ensemble d`un ensemble fini est fini. Dedekind infini s`il existe une fonction injective, non-surjective f: S → S {displaystyle f:Srightarrow S}. Une telle fonction montre une bijection entre S et un sous-ensemble approprié de S, à savoir l`image de f. En particulier, il existe une pléthore de modèles dits non-standard des deux théories. Une telle approche exige une définition structurelle de la finitude qui ne dépend pas des nombres naturels. Le nombre n est la cardinalité du jeu, notée comme | S |. Kuratowski moyens finis S se trouve dans l`ensemble K (S), construit comme suit. Les théories les plus connues de l`ensemble axiomatique incluent la théorie des set Zermelo-Fraenkel (ZF), la théorie des set Zermelo-Fraenkel avec l`axiome de choix (ZFC), la théorie des set de von Neumann – Bernays – Gödel (NBG), la théorie des idées non fondée, la théorie de type de Bertrand Russell et théories de leurs différents modèles. Kuratowski finitude est défini comme suit.
L`ensemble de valeurs d`une fonction lorsqu`il est appliqué aux éléments d`un ensemble fini est fini. Certains auteurs, cependant, utilisent «Countable» pour signifier «infiniment infini», donc ne considèrent pas les ensembles finis d`être dénombrable. Inversement, étant donné une séquence en S composée d`éléments distincts x 1, x 2, x 3,.